Lineare Gleichungssysteme
(Zahlenrätsel/Altersrätsel)

8. Klasse Realschule und Gymnasium
Information

Frage: Wie löse ich folgende Aufgaben aus dem Themenbereich Zahlenrätsel ?


1. Aufgabe:

Die Summe zweier Zahlen beträgt 35. Ihre Differenz ist 17.

Lösung:

Es können aufgrund der Angaben zwei Gleichungen aufgestellt werden:

I )  X + y = 35
II ) x - y = 17

Wir verwenden das Einsetzungsverfahren und stellen die Gleichung zunächst nach x um:

x = y + 17

In I) eingesetzt:

y + 17 + y = 35
2 y + 17 = 35 / - 17
2 y = 18 /:2
y= 9


In II) x - 9 = 17 / + 9

X = 26

L = {26/9}





2. Aufgabe:

Die Summe zweier Zahlen beträgt 69. Ihre Differenz ist 13.


Lösung:

Es können aufgrund der Angaben zwei Gleichungen aufgestellt werden:

I )  X + y = 69
II ) x - y = 13

Wir verwenden das Einsetzungsverfahren und stellen die Gleichung zunächst nach x um:

x = y + 13

In I) eingesetzt:

y + 13 + y = 35
2 y + 13 = 69 / - 13
2 y = 56 /:2
y= 28


In II) x - 28 = 13 / + 28

X = 41

L = {41/28}



3. Aufgabe:

Addiert man zu einer Zahl 5, so erhält man das Vierfache einer zweiten Zahl. Das Doppelte der ersten Zahl, vermindert um 6, ergibt auch das Vierfache der zweiten Zahl.

I )  X + 5 = 4 y
II ) 2 X - 6 = 4 y

Wir stellen zunächst Gleichung I nach X um:

I ) X = 4y - 5

Nun setzen wir X = 4y - 5 in Gleichung II ein:

2 (4y -5) - 6 = 4y

8 y - 10 - 6 = 4 y /+ 16 / - 4 y

4 y = 16 /: 4

y = 4


In I )
X + 5 = 4 (4)
X + 5 = 16/-5
X = 11

L= {11/4}





4. Aufgabe:

Das Doppelte einer Zahl ist um 7 größer als das Dreifache einer zweiten Zahl. Die Summer beider Zahlen ist um 2 kleiner als das Dreifache der zweiten Zahl .

Das Aufstellen der Gleichung ist hier nicht ganz einfach !!
Folgende Überlegung vorweg:

Wenn etwas größer ist, dann müssen wir von dort etwas weg nehmen um Gleichheit zu erhalten.


I ) 2X - 7 = 3 y
II) x + y + 2 = 3 y / -y/-2

Nach den Rechenschritten ergibt sich folgende vereinfachte Gleichung:

II ) x = 2 y - 2

Wir setzen nun X = 2y - 2 in Gleichung I) ein:

IN I )

2 (2y -2) -7 = 3y

4 y - 4 -7    = 3y

4 y -11       = 3y /+11

4 y             = 3 y+11 / -3y

y = 11


In II )

X = 2 (11) -2
X = 22-2
X = 20

L= {20/11}




5. Aufgabe:

Das Produkt aus einer Zahl und 2,5 ist um 8 größer als das Doppelte einer zweiten Zahl.
Das Fünffache der zweiten Zahl ist um 2 kliener das das Vierfache der ersten.

I)  2, 5 X - 8 = 2 y
II) 5 y + 2 = 4X /-2

5 y = 4 X - 2/: 5



IN I ) eingesetzt:




IN I)
2,5 * (8) -8 = 2y
20 - 8        = 2 y
12             = 2 y / :2

y = 6

L = {8/6}
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